| Аннотация |
Проект направлен на разработку новых методов геометрической теории управления для решения важных открытых задач динамики, оптимального управления и особенностей в нелинейных неголономных системах и их приложениях в мобильной робототехнике, моделях зрения, квантовой механике, интерполяции и нейронных сетях.
Теоретическая траектория проекта «динамика-оптимальность-особенности», с одной стороны, соединяет между собой центральные проблемы математической теории управления, а с другой стороны, обозначает ее связи с теорией динамических систем и теорией особенностей. Основное для нас звено этой траектории --- исследование задачи оптимального управления как ключевой задачи геометрической теории управления. Новые задачи, возникающие в теории управления и ее приложениях, требуют разработки новых методов исследования, которые предлагаются в данном проекте.
Важный класс рассматриваемых в проекте задач составляют задачи субримановой (СР) геометрии. Актуальность исследования обусловлена тем, что, во-первых, для субримановых задач крайне мало исследованы вопросы динамики. В рамках данного проекта планируется исследование динамики субриманова геодезического потока в нескольких постановках:
- динамика нормального субриманова геодезического потока на компактных однородных пространствах трехмерных групп Ли (инвариантные многообразия, эргодичность, характер возвращения --- периодические, всюду плотные, более сложно устроенные геодезические),
- динамика регулярного анормального геодезического потока (полнота, интегрируемость, возвращение, инвариантные множества, характер проекций геодезических на плоскость распределения),
- геометрия однородных анормальных геодезических (анормальные геодезические, однородные в смысле групп, сохраняющих метрику или только распределение; условия существования и отсутствия однородных геодезических; связь со строгой анормальностью).
Во-вторых, планируется глубокое исследование вопросов оптимальности. Будут рассмотрены новые теоретические постановки:
- оптимальное управление ансамблями точек,
- индекс Морса второй вариации для общих задач оптимального управления с подвижными концами.
Также планируется детальное исследование ряда важных левоинвариантных задач, с целью построения оптимального синтеза:
- субримановы задачи на компактных трехмерных группах Ли и однородных пространствах,
- левоинвариантная субриманова задача общего вида на группе SL(2,R),
- левоинвариантная субриманова задача на центральном расширении группы SE(2),
- двухступенная несвободная левоинвариантная субриманова задача,
- вложение субримановых задач на трехмерных группах Ли в группу PSL(2,C),
- финслерова задача на группе SE(2).
В-третьих, понадобится привлечение новых методов (теории особенностей, вещественной аналитической геометрии, теории функций нескольких комплексных переменных, теории эллиптических функций и интегралов) для исследования особенностей в ряде нетривиальных субримановых задач:
- особенности субримановых сфер и расстояний в задачах Мартине, Энгеля, Картана,
- глобальная структура субриманова множества разреза на группе Картана,
- особенности анормальных экстремалей в свободной группе Карно ранга 2 глубины 5.
Первые две проблемы имеют повышенную сложность в виду наличия анормальных кратчайших и несубаналитичности сфер, а третья --- в виду большой глубины, до сих пор не исследовавшейся в субримановой геометрии.
Помимо теоретических направлений, в проекте планируется детальное исследование ряда нетривиальных прикладных задач:
- субримановы задачи для общих моделей колёсных роботов с прицепами,
- гиперболическая модель цветового пространства,
- ловушки в задачах оптимального управления квантовыми системами,
- упругие сплайны и интерполяция,
- глубокое обучение искусственных нейронных сетей.
Решение поставленных задач станет существенным развитием геометрической теории управления в направлении создания новых методов исследования трудных теоретических и прикладных проблем.
|
