| Аннотация |
Целью научного исследования: Обеспечить развитие прорывных исследований на границах между различными бурно развивающимися областями математики, которые разрабатываются в Высшей школе экономики, в их взаимосвязи, на основе разработанных в предыдущие годы методов:
• теория динамических систем;
• математическая физика;
• теория чисел и статистическая физика;
• теория вероятностей и топологический анализ данных;
• алгебраическая геометрия;
• исследование неклассических логик.
Кроме того, важнейшей целью проекта является подготовка владеющих современным исследовательским арсеналом научных кадров, обладающих разносторонней и глубокой компетенцией в нескольких наиболее развивающихся областях современной математики, а также заинтересованных в исследованиях в области приложений получаемых фундаментальных результатов в направлениях, приоритетных для достижения научно-технического лидерства страны.
Проект предполагает исследование следующих конкретных вопросов:
I. В области теории динамических систем: фокус проекта - прорывные результаты в области теории бифуркаций, предельных циклов, дифференциальных уравнений в комплексной области, качественной теории динамических систем, а также в области взаимосвязей теории динамических систем с геометрией и комбинаторикой и приложений полученных результатов в математической физике. Проект предполагает исследование следующих конкретных вопросов:
1. Исследование структурной устойчивости типичных одно- и двупараметрических семейств векторных полей на сфере. Актуальна также классификация и исследование ключевых свойств таких семейств.
2. Описание вырождений, встречаемых в типичных однопараметрических и двупараметрических семействах векторных полей на сфере.
3. Построение математической модели эффекта туннелирования, предсказанный Б.Джозефсоном в 1962 г. (Нобелевская премия по физике за 1973 г.).
4. Исследование проблемы одновременной гладкой и алгебраической униформизации семейств алгебраических кривых с помощью клейновых групп.
5. Исследование связей между мерами на выпуклых многогранниках и законами взаимности Паршина.
6. Исследование действия диффеоморфизмами окружности групп с одним концом, которые не являются конечно-представленными, с точки зрения теории меры.
7. Получение соотношений между инвариантами топологической сопряженности и эквивалентности по надстройке для гомологически приводимых гомеоморфизмов.
8. Исследование динамики взаимодействия уединенной волны (солитона) с внешним полем с учетом диссипации в рамках упрощенной модели, сводящихся к системе ОДЕ.
9. Исследование А-диффеоморфизмов поверхностей с нетривиальными седловыми базисными множествами на предмет существования энергетической функции.
10. Получение необходимых и достаточных условий существования энергетической функции каскадов Морса-Смейла многообразиях размерности n<5.
11. Получение новых условий рождения аттрактора Лоренца в результате бифуркаций гетероклинического контура.
II. В области математической физики: Проект ориентирован на достижение более глубокого понимания алгебраических структур и симметрийных алгебр, лежащих в основе интегрируемых иерархий нелинейных уравнений, а также исследования перспектив применения стохастических, аналитических, геометрических и комбинаторно-топологических инструментов в моделях математической физики. В том числе планируется решение следующих конкретных задач:
1. Исследование существующих и построение новых интегрируемых иерархий нелинейных уравнений как в классической, так и в квантовой области, изучение их преобразований типа Бэклунда-Дарбу.
2. Построение статистической теории кулоновского газа на контуре с открытыми концами произвольной формы.
3. Исследование класса интегрируемых систем на кластерных многообразиях, связанных с гамильтоновыми редукциями систем Гончарова-Кеньона, а также интегрируемых систем на пуассоновых подмногообразиях аффинных групп не только серии А.
4. Исследование квантовых деформаций алгебр Ли классических серий и колец квантовых дифференциальных операторов.
5. Разработка эффективных алгоритмов подсчета различных сетевых характеристик для сложных сетей с большим количеством вершин, изучение геометрии и комбинаторики конуса метрик (в том числе конуса электрических метрик) и применение полученных результатов для определения новых инвариантов персистентности в топологическом анализе данных.
6. Описание свойств и структуры групп автоморфизмов мономиальных алгебр, вопрос об изменении подгруппы внутренних автоморфизмов при крепантных преобразованиях лог-пары, доказательство гипотезы Фарга о кривых Фарга - Фонтейна и многообразиях Лустига.
7. Исследование свойств группы Гротендика-Тейхмюллера и ее связей с теорией гиперграфов и теорией пространств модулей алгебраических кривых, а также структур пре - Калаби-Яу и гомологических групп пространств модулей.
III. В области аналитических методов в задачах теории чисел и статистической физики: Задача проекта - развить методы классической теории чисел и геометрии чисел и исследовать возможность их применения к некоторым важным вопросам статистической физики и перечислительной комбинаторики, в том числе добиться прогресса в следующих направлениях:
1. Развитие аналитического аппарата, использующего теорию конформных отображений, позволяющего находить асимптотические формулы для специальных функций.
2. Развитие современных методов решета с целью построения новых базисов порядка 2 и получения новых результатов о больших промежутках между элементами представляющих интерес множеств.
3. Получение оценок в аддитивных задачах, равномерных по всем входящим параметрам, применение результатов для получения асимптотических формул для моментов L-функций, связанных с автоморфными параболическими формами относительно конгруэнц-подгрупп. Развитие и применение современных методов аналитической теории чисел (оценки тригонометрических сумм, дисперсионный метод) в задачах о корреляции мультипликативных функций.
4. Получение новых результатов о статистических свойствах наилучших приближений к точке n-мерного пространства, которые обобщают известные ранее на многомерный случай. Получение новых результатов о статистических свойствах многомерных цепных дробей. Исследование структуры почти пустых целочисленных многогранников.
5. Описание свойств арифметических функций, возникающих в модели "Шашки Фейнмана".
IV. В области алгоритмических аспектов неклассических логик: в рамках проекта планируется развитие алгебраических и комбинаторных принципов современной логики, а также приложений этих результатов к задачам линейной алгебры и теории групп, в том числе:
1. Будут исследоваться комбинаторные принципы, независимые от формальных теорий предикативной силы, в частности, от аксиом теории второго порядка ATR0. Будет сформулирована простая система переписывания термов, терминируемость которой нельзя доказать в ATR0.
2. Будут описаны семантические свойства различных классов модальных логик предикатов. Кроме того, будет исследована и развита симплициальная семантика модальных логик предикатов; предполагается применить её в исследованиях свойств модальных предикатных логик. Также предполагается получить результаты о полноте предикатных логик с разрешимым и замкнутым равенством.
3. Будут получены результаты о финитной аппроксимируемости и разрешимости для ряда важных для приложений модальных пропозициональных логик. При этом предполагается разработать и применить методы доказательства полноты модально-интуиционистских логик относительно топо-реляционных произведений. Также предполагается развить теорию локальной табличности пропозициональных модальных логик с использованием бисимуляционных игр.
4. Предполагается разработать и применить методы, позволяющие доказывать рекурсивную неотделимость модальных предикатных логик при сильных ограничениях на средства языка. Ожидается, что будут описаны алгоритмические свойства фрагментов модальных предикатных логик, определяемых различными классами конечных моделей, а также классами деревьев, классами различных линейных порядков и иных естественных структур. Будет исследоваться связь между алгоритмической сложностью пропозициональных логик и сложностью их аппроксимации семантическими структурами.
5. Планируется изучить сложность неизмеримой версии вероятностной логики Фэйгина–Хальперна–Мегиддо, обогащённой кванторами по пропозициональным формулам.
6. Поиск простого доказательства алгоритмической разрешимости проблемы равенства для минимально бесконечных групп с помощью методов теории моделей.
7. Исследование алгоритмических задачи для структур с итерацией Клини. Планируется классифицировать по алгоритмической сложности различные интересные с точки зрения приложений в теоретической информатике фрагменты хорновых теорий для алгебр и решёток Клини, как в общем, так и в *-непрерывном случае.
|
