Матричные и тензорные методы для решения прямых и обратных задач

Название НИОКТР	Матричные и тензорные методы для решения прямых и обратных задач
Аннотация	Матричные и тензорные приближения малого ранга в настоящее время стали эффективным инструментом вычислительной математики и обработки данных, который успешно применяется для решения различных прямых задач математической физики и оптимизационных задач, связанных с методами машинного обучения, искусственного интеллекта и структуризации данных. Сама возможность их использования обусловлена определенными особенностями задач. Однако следует отметить, что прикладные задачи часто обладают целым рядом дополнительных малоисследованных свойств, также связанных с приближениями малого ранга, но до сих пор никак не учитываемых при построении алгоритмов. Например, тензоры малого ранга могут и довольно часто сохраняют малый ранг при переформатировании с увеличением числа осей. Более того, недавно обнаружено, что именно при увеличении числа осей появляется возможность решать задачи восстановления зашумленных тензоров при высоком уровне шума. Одной из главных задач данного проекта является построение быстрых алгоритмов восстановления тензоров, использующих расширенные предположения о структуре данных, в частности сохранение ранга при тензоризации. Другой важной задачей проекта является изучение возможностей внедрения матричных и тензорных приближений малого ранга в методы решения обратных задач математической физики. Вид ядер интегральных представлений в типичных обратных задачах заведомо гарантирует наличие таких структур. Однако до настоящего времени малоранговые приближения в этой области применялись редко и только в виде матричных мозаично-скелетонных аппроксимаций. В проекте будет исследована возможность использования иерархических (тензорных) методов приближения ядер интегральных операторов и использование таких приближений в обратных задачах восстановления электромагнитных параметров среды и в обратных задачах магнитометрии. Еще одной важной задачей данного проекта, имеющей прямое отношение к разработке и оптимизации периодических наноструктур, таких как транзисторные массивы или оптические наноустройства, является разработка методов эффективного решения нелинейных параметрических задач на собственные значения, возникающих в соответствующих численных моделях. В проекте будут исследованы возможности методов редукции моделей за счет использования малоранговых матричных и тензорных приближений. Наконец, как показывает опыт решения прикладных задач, возможности методов редукции часто ограничиваются возможностями алгоритмов решения линейных систем. Так, например, фактическое отсутствие (блочных) методов крыловского типа, которые эффективно работают в задачах с многими правыми частями является серьезным препятствием к применению современных методов редукции размерности моделей. В проекте предполагается последовательная разработка новых подходов к блочным итерационным методам крыловского типа, предназначенных для решения задач со многими правыми частями. Таким образом, проект объединяет исследования сразу по нескольким направлениям: (а) эффективные вычислительные алгоритмы на основе вложенных тензоризаций малого ранга в задачах приближения и восстановления зашумленных данных; (b) приближения малого ранга при решении обратных задач восстановления электромагнитных параметров и обратных задач магнитометрии; (с) методы редукции модели при решении нелинейных параметрических задач на собственные значения, используемых при разработке и оптимизации периодических наноструктур; (d) исследование методов крестовой аппроксимации гарантированной повышенной точности; (e) исследование методов малоранговых матричных и тензорных приближений в задачах машинного обучения и теории графов; (f) разработка блочных методов крыловского типа, предназначенных для решения систем уравнений с большим числом правых частей.
Доступ к ОКОГУ исполнителя	False
Количество связанных РИД	0
Количество завершенных ИКРБС	0
Сумма бюджета	21000.0
Дата начала	2025-05-29
Дата окончания	2027-12-31
Номер контракта	Соглашение № 25-11-00392
Дата контракта	2025-05-29
Количество отчетов	3
УДК	519.61
Количество просмотров	6
Руководитель работы	Тыртышников Евгений Евгеньевич
Руководитель организации	Грицун Андрей Сергеевич
Исполнитель	ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ ИМ. Г.И. МАРЧУКА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
Заказчик	Российский научный фонд
Федеральная программа	Отсутствует
Госпрограмма	—
Основание НИОКТР	Грант
Последний статус	2025-09-25 07:50:34 UTC, 2025-09-25 07:50:34 UTC
ОКПД	Нет
Отраслевой сегмент	—
Минздрав	—
Межгосударственная целевая программа	—
Ключевые слова	численный анализ; многомерные задачи; тензоры; матричные аппроксимации; линейная алгебра
Соисполнители	—
Типы НИОКТР	Фундаментальное исследование
Приоритетные направления	—
Критические технологии	—
Рубрикатор	27.41.41 - Алгоритмы решения задач вычислительной и дискретной математики; 27.41.15 - Численные методы алгебры
OECD	—
OESR	Прикладная математика
Приоритеты научно-технического развития	а) переход к передовым технологиям проектирования и создания высокотехнологичной продукции, основанным на применении интеллектуальных производственных решений, роботизированных и высокопроизводительных вычислительных систем, новых материалов и химических соединений, результатов обработки больших объемов данных, технологий машинного обучения и искусственного интеллекта;
Регистрационные номера	—